Question

已知a＞0，a≠1，设命题p：函数y=log_a x在（0，+∞）上单凋递增；命题q：函数y=|x+2a|-|x|对任意x∈R满足-1＜y＜l．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：先根据对数函数的单调性，讨论x的取值从而去绝对值，并根据函数y的值域从而求得命题p，q下a的取值范围，而由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题得到p真q假，和p假q真两种情况，分别求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：若p为真命题，则a＞1；
若q为真命题，由y=|x+2a|-|x|=

-2a x≤-2a 2x+2a -2a＜x＜0 2a x≥0

得，-2a≤|x+2a|-|x|≤2a；
∴2a＜1，0＜a＜

1

2

；
又“p?q”为真，“p?q”为假，则p、q中一真一假；
当p真q假时，

a＞1 a≥ 1 2

，∴a＞1；
当p假q真时，

0＜a≤1 0＜a＜ 1 2

，∴0＜a＜

1

2

；
故a的取值范围是（0，

1

2

）∪（1，+∞）．

点评：考查对数函数的单调性，处理含绝对值函数的方法：去绝对值，根据一次函数的单调性求函数的范围，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．