【题目】在平面直角坐标系O
中,直线
与抛物线
=2
相交于A、B两点.
(1)求证:命题“如果直线过点T(3,0),那么
=3”是真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
【答案】(1)见解析;
(2)见解析.
【解析】
(1)直线方程与抛物线方程联立,消去后利用韦达定理判断
的值是否为3,从而确定此命题是否为真命题;
(2)根据四种命题之间的关系写出该命题的逆命题,然后再利用直线与抛物线的位置关系知识来判断其真假.
(1)证明:设过点的直线
交抛物线
于点
,
当直线的斜率不存在时,直线
的方程为
,
此时,直线与抛物线相交于
,
所以,
当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,其中
,
,得
,
则,
又因为,
所以,
综上所述,命题“如果直线过点T(3,0),那么
=3”是真命题;
(2)逆命题是:“设直线与抛物线
=2
相交于A、B两点,如果
=3,那么该直线过点
”,该命题是假命题,
例如:取抛物线上的点,此时
=3,直线AB的方程为
,而T(3,0)不在直线AB上.
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【题目】如图所示,某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路,现要修一条地铁L,在OA,OB上各设一站A,B,地铁在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为,设地铁在AB部分的总长度为
.
按下列要求建立关系式:
设
,将y表示成
的函数;
设
,
用m,n表示y.
把A,B两站分别设在公路上离中心O多远处,才能使AB最短?并求出最短距离.
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【题目】已知直线l的参数方程为为参数
,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
.
求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程;
Ⅱ
若直线
与曲线C交于点
不同于原点
,与直线l交于点B,求
的值.
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【题目】如图,已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.
(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;
(2)求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值.
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【题目】某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验.如图所示,每次使一个实心小球从帕斯卡三角仪器的顶部入口落下,当它在依次碰到每层的菱形挡板时,会等可能地向左或者向右落下,在最底层的7个出口处各放置一个容器接住小球,该小组连续进行200次试验,并统计容器中的小球个数得到柱状图:
(Ⅰ)用该实验来估测小球落入4号容器的概率,若估测结果的误差小于,则称该实验是成功的.试问:该兴趣小组进行的实验是否成功?(误差
)
(Ⅱ)再取3个小球进行试验,设其中落入4号容器的小球个数为,求
的分布列与数学期望.(计算时采用概率的理论值)
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【题目】已知定义在上的函数
及如下的4个命题:
关于x的方程
有
个不同的零点;
对于实数
,不等式
恒成立;
在
上,方程
有5个零点;
时,函数
的图象与x轴图成的形的面积是4.
则以上命题正确的为______把正确命题前的序号填在横线上
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【题目】如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库,设,并在公路北侧建造边长为
的正方形无顶中转站CDEF(其中EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且
.
(1)求关于
的函数解析式,并求出定义域;
(2)如果中转站四堵围墙造价为10万元/km,两条道路造价为30万元/km,问:取何值时,该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低.
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