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若存在实常数,使得函数对其定义域上的任意实数分别满足:,则称直线的“隔离直线”.已知为自然对数的底数).
(1)求的极值;
(2)函数是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

(1)当时,取极小值,其极小值为(2)函数存在唯一的隔离直线

解析试题分析:(1)
.        
时,.                     
时,,此时函数递减; 
时,,此时函数递增;
∴当时,取极小值,其极小值为.   …………………………………6分   
(2)解法一:由(1)可知函数的图象在处有公共点,因此若存在的隔离直线,则该直线过这个公共点.          
设隔离直线的斜率为,则直线方程为,即.                                
,可得时恒成立.
,                             
,得.                       
下面证明时恒成立.
,则
,                
时,
时,,此时函数递增;
时,,此时函数递减;
∴当时,取极大值,其极大值为.   
从而,即恒成立.            
∴函数存在唯一的隔离直线.……………12分 
解法二: 由(1)可知当时, (当且仅当时取等号) .
若存在的隔离直线,则存在实常数

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