Question

14．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosC=$\frac{sinC+2sinB}{2sinA}$
（1）求角A；
（2）若S_△ABC=$\sqrt{3}$，sinB+sinC=1，求边a的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式整理后，把sinB=sin（A+C）代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sinC不为0，求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由A的度数表示出B+C的度数，用B表示出C，代入sinB+sinC=1中，利用和差化积公式变形求出B的度数，进而得到B=C，即b=c，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，把已知面积与sinA的值代入求出b与c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答 解：（1）已知等式整理得：2cosCsinA=sinC+2sinB，即cosCsinA=$\frac{1}{2}$sinC+sinB=$\frac{1}{2}$sinC+sin（A+C）=$\frac{1}{2}$sinC+sinAcosC+cosAsinC，
即$\frac{1}{2}$sinC+cosAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
则A=120°；
（2）∵A=120°，∴B+C=60°，即C=60°-B，
代入sinB+sinC=1中得：sinB+sin（60°-B）=2sin30°cos（B-30°）=1，
整理得：cos（B-30°）=1，
∴B=C=30°，即b=c，
∵S_△ABC=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，即bc=b²=4，
解得：b=c=2，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=4+4+4=12，
则a=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．