Question

3．已知函数f（x）=2cos[ω（x+φ）]（ω＞0，0＜φ＜π）．
（1）若函数f（x）图象过点（0，-2）且图象上两个对称中心A（x₁，0）与B（x₂，0）间最短距离为$\frac{π}{2}$，求函数f（x）解析式；
（2）若$φ=\frac{π}{2}$，函数f（x）在[-$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]上单调递减，求ω的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得函数f（x）的周期，可得ω值，代点可得φ值，可得解析式；
（2）由x的范围结合余弦函数的单调性可得ω的范围．

解答 解：（1）∵f（x）图象上两个对称中心A（x₁，0）与B（x₂，0）间最短距离为$\frac{π}{2}$，
∴函数f（x）的周期T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
又f（0）=2cos2φ=-2，即cos2φ=-1，
∵0＜φ＜π，∴0＜2φ＜2π，∴2φ=π，∴φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=2cos[2（x+$\frac{π}{2}$）]=-2sin2x；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]，∴x+$\frac{π}{2}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∵ω＞0，函数f（x）在[-$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]上单调递减，
∴根据题意有$\frac{ωπ}{6}$≥2kπ且$\frac{7ωπ}{6}$≤2kπ+π，
解得12k≤ω≤$\frac{12k+6}{7}$，k∈Z
结合题意可得k=0时，0＜ω≤$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查余弦函数图象，涉及函数的单调性，数形结合是解决问题的关键，属中档题．