Question

4．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2（sin²A+sin²B-sin²C）=3sinAsinB．
（Ⅰ）求${sin^2}\frac{A+B}{2}$的值；
（Ⅱ）若c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理与余弦定理、倍角公式即可得出；
（II）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理得：2（a²+b²-c²）=3ab，…（2分）
∴由余弦定理得：$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{3}{4}$，…（4 分）
∴${sin^2}\frac{A+B}{2}={cos^2}\frac{C}{2}=\frac{1+cosC}{2}=\frac{7}{8}$…（7分）
（Ⅱ）若c=2，则由（Ⅰ）知：8=2（a²+b²）-3ab≥4ab-3ab=ab，．（9分）
又$sinC=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，…（11分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{1}{2}×8×\frac{{\sqrt{7}}}{4}=\sqrt{7}$，
即△ABC面积的最大值为$\sqrt{7}$…（14分）

点评 本题考查了正正弦定理与余弦定理、倍角公式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．