Question

10．已知函数f（x）=|x-a|-$\frac{3}{x}$+a-2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为{$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$，-$\frac{9}{5}$ }．

Answer 1

分析 令g（x）=0，化简函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{3}{x}，x≤a}\\{x-\frac{3}{x}，x＞a}\end{array}\right.$，从而不妨设f（x）=0的3个根为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，讨论当x＞a时，求得两根，x≤a时，再分①a≤-1，②-1＜a≤3，③a＞3，运用等差数列的中项的性质，进而确定a的值．

解答 解：函数f（x）=|x-a|-$\frac{3}{x}$+a-2有且仅有三个零点，设f（x）=0，可得|x-a|-$\frac{3}{x}$+a=2，
设g（x）=|x-a|-$\frac{3}{x}$+a，h（x）=2，则函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{3}{x}，x≤a}\\{x-\frac{3}{x}，x＞a}\end{array}\right.$．
不妨设f（x）=0的3个根为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
当x＞a时，由f（x）=0，解得x=-1，或x=3；
若 ①a≤-1，此时 x₂=-1，x₃=3，由等差数列的性质可得x₁=-5，
由f（-5）=2a+5+$\frac{3}{5}$-2=0，解得a=-$\frac{9}{5}$，满足f（x）=0在（-∞，a]上有一解．
若②-1＜a≤3，则f（x）=0在（-∞，a]上有两个不同的解，不妨设x₁，x₂，其中x₃=3，
所以有x₁，x₂是2a-x-$\frac{3}{x}$=2的两个解，即x₁，x₂是x²-（2a-2）x+3=0的两个解．
得到x₁+x₂=2a-2，x₁x₂=3，
又由设f（x）=0的3个根为x₁，x₂，x₃成差数列，且x₁＜x₂＜x₃，得到2x₂=x₁+3，
解得：a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或$\frac{5-3\sqrt{33}}{8}$（舍去）．
③a＞3，f（x）=0最多只有两个解，不满足题意；
综上所述，a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或-$\frac{9}{5}$，
故答案为：{$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$，-$\frac{9}{5}$ }．

点评 本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了等差数列的中项的性质，属于中档题．