Question

已知以T=4为周期的函数f（x）=

m 1-x2 ，x∈(-1，1] 1-|x-2|，x∈(1，3]

，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为______．

Answer 1

∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x²+

y2

m2

=1（y≥0），
∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，
由图易知直线 y=

x

3

与第二个椭圆（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）相交，
而与第三个半椭圆（x-8）²+

y2

m2

=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，
将 y=

x

3

代入（x-4）²+

y2

m2

=1 （y≥0）得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），
则（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m＞

15

3

，
同样由 y=

x

3

与第三个椭圆（x-8）²+

y2

m2

=1 （y≥0）由△＜0可计算得m＜

7

，
综上可知m∈（

15

3

，

7

）
故答案为：（

15

3

，

7

）