Question

数列{a_n}满足

an+1

=

a1

+

a2

+

a3

+…

an

，a₁=4，则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系，构造方程组即可得到结论．

解答： 解：∵

an+1

=

a1

+

a2

+

a3

+…+

an

，
∴

an+2

=

a1

+

a2

+

a3

+…+

an

+

an+1

，
两式相减得

an+2

-

an+1

=

an+1

，
即

an+2

=2

an+1

，平方得a_n+2=4a_n+1，
当n=1时，

a2

=

a1

，即a₂=a₁=4，不满足a_n+2=4a_n+1，
∴数列{a_n}从第三项起是以a₂=4为首项，公比q=4的等比数列，
当n≥2时，a_n=4•4^n-2=4^n-1，
则a_n=

4，n=1 4n-1，n≥2

．
故答案为：a_n=

4，n=1 4n-1，n≥2

．

点评：本题主要考查数列通项公式的计算，根据递推数列关系，构造方程组，利用作差法是解决本题的关键．