Question

16．某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

年份	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$．$\widehata=\overline y-\widehatb\overline t$．
参考数据：（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．

Answer 1

分析 （1）先求出年份代号t和人均纯收入y的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程；
（2）由（1）知，b=0.5＞0，2009年至2015年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，求得2017年的年份代号t=9代入（1）的回归方程，得y的值．

解答 解：（1）由所给数据计算得

$\overline{t}$=$\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}$=4，
$\overline{y}$=$\frac{2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9}{7}$=4.4，
$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）²=9+4+1+0+1+4+9=28，
$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．，…4分
$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$=$\frac{14}{28}$=0.5，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline t$=4.3-0.5×4=2.3，
所求回归方程为y=0.5t+2.3…8分
（2）由（1）知，b=0.5＞0，故2009年至2015年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2017年的年份代号t=9代入（1）的回归方程，得y=6.8，
故预测该地区2017年该地区居民家庭人均纯收入约为6.8千元．…12分．

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查利用线性回归方程进行预测，属于基础题．