Question

11．高二学生即将升入高三，高三学生参加高校自主招生考试是升入理想大学的一条途径．甲、乙、丙三位同学一起参某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲中、乙、丙三位同学的平时成绩分析，甲，乙，丙三位同学能通过笔试的概率分别是$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{5}$；能通过面试的概率分别是$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$．
（1）求甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试的概率；
（2）设甲、乙、丙三位同学各自经过两次考试后，能被该高校录取的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）分别记“甲、乙、丙三位同学通过笔试”为事件A，B，C，事件E表示“甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试”，利用对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试的概率．
（2）“甲乙丙三位同学各自经过两次考试后能被录取”分别记为事件D，E，F，由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望E（X）．

解答 解：（1）分别记“甲、乙、丙三位同学通过笔试”为事件A，B，C，
事件E表示“甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试”，
则甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试的概率：
P（E）=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}$BC）
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{5}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{5}$
=$\frac{7}{30}$．
（2）“甲乙丙三位同学各自经过两次考试后能被录取”分别记为事件D，E，F，
则P（D）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{15}$，P（E）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$，P（F）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$，
由题意X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=P（$\overline{D}\overline{E}\overline{F}$）=$\frac{14}{15}×\frac{7}{8}×\frac{9}{10}$=$\frac{882}{1200}$，
P（X=1）=P（$D\overline{E}\overline{F}$+$\overline{D}E\overline{F}$+$\overline{D}\overline{E}F$）=$\frac{1}{15}×\frac{7}{8}×\frac{9}{10}$+$\frac{14}{15}×\frac{1}{8}×\frac{9}{10}$+$\frac{14}{15}×\frac{7}{8}×\frac{1}{10}$=$\frac{287}{1200}$，
P（X=2）=P（$DE\overline{F}$+D$\overline{E}F$+$\overline{D}EF$）=$\frac{1}{15}×\frac{1}{8}×\frac{9}{10}+\frac{1}{15}×\frac{7}{8}×\frac{1}{10}+\frac{14}{15}×\frac{1}{8}×\frac{1}{10}$=$\frac{30}{1200}$，
P（X=3）=P（DEF）=$\frac{1}{15}×\frac{1}{8}×\frac{1}{10}$=$\frac{1}{1200}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{882}{1200}$	$\frac{287}{1200}$	$\frac{30}{1200}$	$\frac{1}{1200}$

数学期望E（X）=$0×\frac{882}{1200}+1×\frac{287}{1200}+2×\frac{30}{1200}+3×\frac{1}{1200}$=$\frac{7}{24}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用．