Question

17．在算式“30-△=4×□”中的△，□分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对（△，□）应为（　　）

• A． （4，14）
• B． （6，6）
• C． （3，18）
• D． （10，5）

Answer 1

分析 设△=a，□=b，（a＞0，b＞0），则a+4b=30，即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{30}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{30}$（5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$），运用基本不等式即可得到最小值和取得等号的条件．

解答 解：设△=a，□=b，（a＞0，b＞0），
则a+4b=30，
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{30}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{30}$（5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$）
≥$\frac{1}{30}$（5+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{4b}{a}}$）=$\frac{1}{30}$×（5+4）=$\frac{3}{10}$．
当且仅当a=2b，由a+4b=30，可得a=10，b=5，
取得最小值．
即这两个数构成的数对（△，□）应为（10，5）．
故选：D．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．