Question

【题目】如图下图①，等边三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边上的点，且满足＝k，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，如图下图②.

(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

(2)求二面角BACD的正切值．

①　　②

Answer 1

【答案】(1)见解析； (2) .

【解析】

（1）根据AB平行EF即可说明（2）过点D作DG⊥AC于点G，连接BG，可证∠BGD是二面角BACD的平面角，解三角形即可求出.

(1)AB∥平面DEF，

理由如下：在△ABC中，

因为E，F分别是AC，BC上的点，且满足＝＝k，

所以AB∥EF.

因为AB平面DEF，EF平面DEF，

所以AB∥平面DEF.

(2)如图所示，过点D作DG⊥AC于点G，连接BG.

因为AD⊥CD，BD⊥CD，

所以∠ADB是二面角ACDB的平面角．

所以∠ADB＝90°，即BD⊥AD.

所以BD⊥平面ADC.

所以BD⊥AC.

所以AC⊥平面BGD.

所以BG⊥AC.

所以∠BGD是二面角BACD的平面角．

在△ADC中，AD＝a，DC＝a，AC＝2a，所以DG＝＝＝.

在Rt△BDG中，tan∠BGD＝＝ ，即二面角BACD的正切值为 .