Question

12．已知点P（$\sqrt{3}$，-1），Q（sin2x，cos2x），O为坐标原点，函数f（x）=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$．
（1）求函数f（x）的对称中心和单调增区间；
（2）若A为△ABC的内角，a，b，c分别为角A，B，C的对边，f（A）=2，a=5，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数量积的坐标运算结合辅助角公式化积，再由y=Asin（ωx+φ）型函数的性质求解；
（2）由（1）及f（A）=2求得角A，再由正弦定理把b，c用含有角B的代数式表示，作和后利用三角函数的最值得答案．

解答 解：（1）∵P（$\sqrt{3}$，-1），Q（sin2x，cos2x），
∴f（x）=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$．
由2x-$\frac{π}{6}=kπ$，得x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，k∈Z．
∴函数f（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，0$）；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调增区间为[-$\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（2）由f（A）=2，得$2sin（2A-\frac{π}{6}）=2$，即$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$．
又2A$-\frac{π}{6}$∈（$-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}$），
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，则A=$\frac{π}{3}$．
∵a=5，
∴$b=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}sinB=\frac{10\sqrt{3}}{3}sinB$，c=$\frac{10\sqrt{3}}{3}sin（\frac{2π}{3}-B）$．
∴△ABC周长L=5+$\frac{10\sqrt{3}}{3}sinB+\frac{10\sqrt{3}}{3}sin（\frac{2π}{3}-B）$
=5+$\frac{10\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$=$5+10sin（B+\frac{π}{6}）$．
∵0$＜B＜\frac{2}{3}π$，∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$），
则sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]．
∴L∈（10，15]．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，也考查了三角恒等变换与三角函数最值的求法，是中档题．