(本小题满分12分)已知四棱锥中
平面
,
且,底面为直角梯形,
分别是
的中点.
(1)求证:// 平面
;
(2)求截面与底面
所成二面角的大小;
(3)求点到平面
的距离.
(1)只需证//平面
;(2)
;(3)
。
解析试题分析:以为原点,以
分别为
建立空间直角坐标系
,
由,
分别是
的中点,
可得:,
∴,
………2分
设平面的的法向量为
,
则有:
令,则
, ……………3分
∴,又
平面
∴//平面
……………4分
(2)设平面的的法向量为
,又
则有:
令,则
, …………6分
又为平面
的法向量,∴
,又截面
与底面
所成二面角为锐二面角,
∴截面与底面
所成二面角的大小为
…………8分
(3)∵,
∴所求的距离…12分
考点:线面垂直的性质定理;线面平行的判定定理;二面角;点到面的距离。
点评:综合法求二面角,往往需要作出平面角,这是几何中一大难点,而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算即可,从而体现了空间向量的巨大作用.二面角的向量求法: ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱
垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量
与
的夹角; ②设
分别是二面角
的两个面α,β的法向量,则向量
的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图一,△ABC是正三角形,△ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起, 使得△ABD与△ABC成直二面角,如图二,在二面角
中.
(1)求证:BD⊥AC;
(2)求D、C之间的距离;
(3)求DC与面ABD成的角的正弦值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题13分)如图1,在三棱锥P—ABC中,平面ABC,
,D为侧棱PC上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示。
(1)证明:平面PBC;
(2)求三棱锥D—ABC的体积;
(3)在的平分线上确定一点Q,使得
平面ABD,并求此时PQ的长。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分14分)
如图4,在三棱柱中,△
是边长为
的等边三角形,
平面
,
,
分别是
,
的中点.
(1)求证:∥平面
;
(2)若为
上的动点,当
与平面
所成最大角的正切值为
时,
求平面 与平面
所成二面角(锐角)的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,三棱锥P-ABC中,PC平面ABC,PC=AC=2, AB=BC,D是PB上一点,且CD
平面PAB
(1)求证:AB平面PCB;
(2)求异面直线AP与BC所成角的大小;
(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
如图,边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点.
(1)求直线A1E与平面BDD1B1所成的角的正弦值
(2)求点E到平面A1DB的距离
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分10分)如图,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,E是PC的中点.
求证:(1) PA∥平面BDE .
(2)平面PAC平面BDE .
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
在四棱柱中,底面
是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=
,AB=PB=PC=BC=2CD=2,平面PBC⊥平面ABCD
(1)求证:AB⊥平面PBC
(2)求三棱锥C-ADP的体积
(3)在棱PB上是否存在点M使CM∥平面PAD?
若存在,求的值。若不存在,请说明理由。
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