【题目】如图,由三棱柱和四棱锥
构成的几何体中,
平面
,
,
,
,平面
平面
.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若为棱
的中点,求证:
平面
;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使直线
与平面
所成的角为
?若存在,求
的值,若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)不存在这样的点.
【解析】试题分析: (Ⅰ)在直三棱柱中,由
平面
,推得
,
由平面平面
,推得
平面
,又
平面
,得证.(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系
,写出各点坐标,求出平面
的法向量为
,因为
, 所以
平面
.(Ⅲ)设
,
,根据线面角公式列出方程,解得
,可得结论.
试题解析:(Ⅰ)证明:在直三棱柱中,
平面
,
故,
由平面平面
,且平面
平面
,
所以平面
,
又平面
,
所以.
(Ⅱ)证明:在直三棱柱中,
平面
,
所以,
,
又,
所以,如图建立空间直角坐标系,
依据已知条件可得,
,
,
,
,
,
所以,
,
设平面的法向量为
,
由即
令,则
,
,于是
,
因为为
中点,所以
,所以
,
由,可得
,
所以与平面
所成角为0,
即平面
.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知平面的法向量为
.
设,
,
则,
.
若直线与平面
成角为
,则
,
解得,
故不存在这样的点.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线
(
为参数),将
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
和
倍后得到曲线
.以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
.
(1)试写出曲线的极坐标方程与曲线
的参数方程;
(2)在曲线上求一点
,使点
到直线
的距离最小,并求此最小值.
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【题目】给出下列命题:
①若平面α内的直线l垂直于平面β内的任意直线,则α⊥β;
②若平面α内的任一直线都平行于平面β,则α∥β;
③若平面α垂直于平面β,直线l在平面α内,则l⊥β;
④若平面α平行于平面β,直线l在平面α内,则l∥β.
其中正确命题的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】已知圆经过点
、
,并且直线
:
平分圆
.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若过点,且斜率为
的直线
与圆
有两个不同的交点
.
(ⅰ)求实数的取值范围;
(ⅱ)若,求
的值.
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【题目】已知单调递增的等差数列{an},满足|a10a11|>a10a11 , 且a102<a112 , Sn为其前n项和,则( )
A.a8+a12>0
B.S1 , S2 , …S19都小于零,S10为Sn的最小值
C.a8+a13<0
D.S1 , S2 , …S20都小于零,S10为Sn的最小值
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【题目】已知{an}是递增的等差数列,它的前三项的和为﹣3,前三项的积为8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Sn .
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【题目】继共享单车之后,又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市,一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”,每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”,李先生家离上班地点10公里,每天租用共享汽车上下班,由于堵车因素,每次路上开车花费的时间是一个随机变量,根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下:
时间(分钟) | |||||
次数 | 8 | 14 | 8 | 8 | 2 |
以各时间段发生的频率视为概率,假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分钟.
(Ⅰ)若李先生上.下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟,便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择,设是4次使用共享汽车中最优选择的次数,求
的分布列和期望.
(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽车2次,一个月(以20天计算)平均用车费用大约是多少(同一时段,用该区间的中点值作代表).
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