Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx-1为偶函数，且f（-1）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对?x∈（0，1），不等式f（x-2）≥（2+k）x恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用二次函数f（x）=ax²+bx-1为偶函数，且f（-1）=0可求得b=0，a=1，从而可得函数f（x）的解析式；
（2）依题意，分离参数k，可得k≤x+

3

x

-6恒成立，x∈（0，1）．利用双钩函数y=x+

3

x

-6在（0，1）上单调递减的性质，即可求得实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx-1为偶函数，
∴f（-x）=f（x），即ax²-bx-1=ax²+bx-1，解得b=0；
又f（-1）=a-1=0，
∴a=1，
∴f（x）=x²-1．
（2）∵对?x∈（0，1），不等式f（x-2）≥（2+k）x恒成立，
∴（x-2）²-1≥（2+k）x在x∈（0，1）时恒成立，
∴k≤x+

3

x

-6恒成立，x∈（0，1）．
∵y=x+

3

x

-6在（0，1）上单调递减，
∴x→1时，y=x+

3

x

-6→-2，
∴k≤-2．

点评：本题考查二次函数的性质，着重考查恒成立问题，考查转化思想，是中档题．