Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设.

（1）若点的坐标为，且的周长为8，求椭圆的方程；

（2）若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）[，5]．

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆定义，将三角形周长转化为：4a＝8，再结合点P在椭圆上，得，解方程组得a＝2，b2＝3．（2）由于垂直于轴，所以P(c，)．再根据，可求得Q(－c，－)．代入椭圆方程得＋＝1，即λ＝，最后根据，确定实数的取值范围.

试题解析：（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，

所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2的周长为4a．

由题意，得4a＝8，解得a＝2．

因为点P的坐标为 (1，)，所以，

解得b2＝3．

所以椭圆C的方程为．

（2）方法一：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．设Q(x1，y1)．

因为P在椭圆上，所以，解得y0＝，即P(c，)．

因为F1(－c，0)，所以＝(－2c，－)，＝(x1＋c，y1)．

由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1，

解得x1＝－c，y1＝－，所以Q(－c，－)．

因为点Q在椭圆上，所以()2e2＋＝1，

即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，

因为λ＋1≠0，

所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝．

因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．

所以λ的取值范围为[，5]．

方法二：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．

因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)．

因为F1(－c，0)，故直线PF1的方程为y＝ (x＋c)．

由，得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0．

因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，)．设Q(x1，y1)，

则x1＋c＝－，即－c－x1＝．

因为＝λ，

所以λ＝＝＝＝＝．

因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．

所以λ的取值范围为[，5]．