Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-1，-2），则双曲线的焦距为（　　）

• A． $6\sqrt{5}$
• B． $3\sqrt{5}$
• C． $6\sqrt{3}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意，点（-1，-2）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=2，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（-1，-2）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-1，-2），
即点（-1，-2）在抛物线的准线上，则p=2，
则抛物线的焦点为（1，0）；
则双曲线的左顶点为（-3，0），即a=3；
点（-1，-2）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±2x，
由双曲线的性质，可得b=6；
则c=$\sqrt{9+36}$=3$\sqrt{5}$，则焦距为2c=6$\sqrt{5}$
故选：A．

点评 本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-1，-2）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．