Question

【题目】已知分别为椭圆左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是椭圆上异于点的两个动点，如果直线与直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据点在椭圆上，以及轴，可以求出的值，再根据的周长为以及椭圆的定义可以求出，进而可以得到椭圆的标准方程；（2）根据题目条件可知直线与直线的斜率应是互为相反数，据此可以得到点坐标，进而可以求出直线的斜率为定值，即证明了直线的斜率为定值.

试题解析：（1）由题意，，．．．．．．．．．．．．．．．1分

…………… 2分

∴．．．．．．．．．．．．3分

∴ 椭圆方程为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由（1）知，设直线方程：得，代入得

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

设，因为点在椭圆上，所以，

又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以直线的斜率，

即直线的斜率为定值，其值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分