Question

3．如图，扇形AOB的圆心角为90°，点P在弦AB上，且OP=$\sqrt{2}$AP，延长OP交弧AB于点C，现向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求出扇形AOC的面积，扇形AOB的面积，从而得到所求概率．

解答 解：设AP=x，OP=$\sqrt{2}$x，由正弦定理可求得，
sin∠AOP=$\frac{APsin∠OAP}{OP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$，所以∠POA=30°，
所以扇形AOC的面积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}πO{A}^{2}$，扇形AOB的面积为$\frac{1}{4}πO{A}^{2}$，
从而所求概率为$\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{4}πO{A}^{2}}{\frac{1}{4}πO{A}^{2}}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查几何概型，正确求出扇形的面积是关键．