Question

已知函数f（x）=

(x+1)2+sinx

x2+1

，其导函数记为f′（x），则f（2012）+f′（2012）+f（-2012）-f′（-2012）=______．

Answer 1

由题意可得函数f(x)=

(x+1)2+sinx

x2+1

=

x2+1+2x+sinx

x2+1

=1+

2x+sinx

x2+1

，
故其导函数f′（x）=

(2+cosx)(x2+1)-(2x+sinx)(2x)

(x2+1)2

，
易证f′（-x）=f′（x），故导函数f′（x）为偶函数，所以f'（2012）=f'（-2012）；
记函数h(x)=

2x+sinx

x2+1

，显然有h（-x）=-h（x），即h（x）为奇函数，
可得h（-2012）=-h（2012），即h（2012）+h（-2012）=0，
故f（2012）+f'（2012）+f（-2012）-f'（-2012）=f（2012）+f（-2012）
=1+h（2012）+1+h（-2012）=2+h（2012）+h（-2012）=2，
故答案为：2