Question

20．已知数列{a_n}前n项的和为S_n，满足a₁=0，a_n≥0，3a_n+1²=a_n²+a_n+1（n∈N*）
（Ⅰ）用数学归纳法证明：1$-\frac{1}{n}$≤a_n＜1（n∈N*）
（Ⅱ）求证：a_n＜a_n+1（n∈N*）

Answer 1

分析 （I）验证n=1结论成立，假设n=k结论成立，利用不等式的性质推导n=k+1时结论成立即可；
（II）使用作差法和二次函数的性质得出结论．

解答 证明：（I）当n=1时，显然结论成立；
假设n=k时，结论成立，即1-$\frac{1}{k}$≤a_k＜1，
则3a_k+1²=a_k²+a_k+1＜3，
由a_k+1≥0，∴a_k+1＜1，
又a_k≥1-$\frac{1}{k}$，
∴3a_k+1²=a_k²+a_k+1≥（1-$\frac{1}{k}$）²+（1-$\frac{1}{k}$）+1=$\frac{1}{{k}^{2}}$-$\frac{3}{k}$+3，
a_k+1²≥1-$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{3{k}^{2}}$＞1-$\frac{2}{k+1}$+$\frac{1}{{k}^{2}+2k+1}$=（1-$\frac{1}{k+1}$）²，
∴a_k+1＞1-$\frac{1}{k+1}$，
∴当n=k+1时，结论成立，
∴1$-\frac{1}{n}$≤a_n＜1（n∈N*）．
（II）3a_n+1²-3a_n²=-2a_n²+a_n+1=-2（a_n-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，
由（1）可知0≤a_n＜1，
∴-2（a_n-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$＞0，
∴3a_n+1²-3a_n²＞0，
∴a_n＜a_n+1．

点评 本题考查了数学归纳法证明不等式，属于中档题．