Question

5．如图，在三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°，AC=2AA₁=4，点D，E分别是AA₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：DE∥平面A₁B₁C；
（Ⅱ）若AB=2，∠BAC=60°，求三棱锥A₁-BDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC的中点F，连结DF、EF，推导出平面DEF∥平面A₁B₁C，由此能证明DE∥平面A₁B₁C．
（Ⅱ）过点A₁作AC的垂线，垂足为H，推导出A₁H⊥底面ABC，由${V}_{{A}_{1}-BDE}={V}_{{A}_{1}-ABE}-{V}_{D-ABE}$，能求出三棱锥A₁-BDE的体积．

解答 证明：（Ⅰ）如图，取AC的中点F，连结DF、EF，
在△AA₁C中，点D、F分别是AA₁、AC的中点，∴DF∥$\frac{1}{2}$A₁C，
同理，得：EF∥$\frac{1}{2}AB$∥$\frac{1}{2}{A}_{1}{C}_{1}$，DF∩EF=F，A₁C∩A₁B₁=A₁，
∴平面DEF∥平面A₁B₁C，
又DE?平面DEF，
∴DE∥平面A₁B₁C．
解：（Ⅱ）过点A₁作AC的垂线，垂足为H，由题知侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，
∴A₁H⊥底面ABC，在△AA₁C中，∵∠A₁AC=60°，AC=2AA₁=4，∴A₁H=$\sqrt{3}$，
∵AB=2，∠BAC=60°，∴BC=2$\sqrt{3}$，点E是BC的中点，
∴BE=$\sqrt{3}$，${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}•AB•BE=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∵D为AA₁的中点，
∴${V}_{{A}_{1}-BDE}={V}_{{A}_{1}-ABE}-{V}_{D-ABE}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{A}_{1}H×{S}_{△ABE}$=$\frac{1}{6}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．