Question

16．在平面直角坐标平面内，已知A（0，5），B（-1，3），C（3，t）．
（1）若t=1，求证：△ABC为直角三角形；
（2）求实数t的值，使$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|$最小；
（3）若存在实数λ，使$\overrightarrow{AB}=λ•\overrightarrow{AC}$，求实数λ、t的值．

Answer 1

分析 （1）当t=1时，C（3，1），求出$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BC}$，由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，能证明△ABC为直角三角形．
（2）求出$\overrightarrow{AB}=（-1，-2），\overrightarrow{AC}=（3，t-5）$，从而$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{4+{{（t-7）}^2}}$，由此能求出结果．
（3）由$\overrightarrow{AB}=λ•\overrightarrow{AC}$，列出方程组，能求出实数λ、t的值．

解答 证明：（1）当t=1时，C（3，1），
则$\overrightarrow{AB}=（-1，-2），\overrightarrow{BC}=（4，-2）$…（2分）
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=-1×4+（-2）×（-2）=0$，
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴△ABC为直角三角形．…（4分）
解：（2）$\overrightarrow{AB}=（-1，-2），\overrightarrow{AC}=（3，t-5）$，
∴$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=（-1，-2）+（3，t-5）=（2，t-7）$…（6分）
∴$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{4+{{（t-7）}^2}}$
当t=7时，$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|$的最小值为2．…（9分）
（3）由$\overrightarrow{AB}=λ•\overrightarrow{AC}$，得：
$（-1，-2）=λ•（3，t-5）⇒\left\{\begin{array}{l}-1=3λ\\-2=λ（t-5）\end{array}\right.$…（12分）
解是$\left\{\begin{array}{l}λ=-\frac{1}{3}\\ t=11\end{array}\right.$…（14分）

点评 本题考查三角形是直角三角形的证明，考查向量的模取最小值时对应的实数值的求法，涉及到平面向量坐标运算法则、向量垂直、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．