Question

20．已知λ、μ∈R，α∈[0，90°]，且sin40°（λtan10°+μ）=-1，点P（λ，μ）与坐标原点O间距的最小值是2sinα，则α=90°．

Answer 1

分析 由已知等式求出$\sqrt{{λ}^{2}+{μ}^{2}}=2$，即点P（λ，μ）与坐标原点O间的距离为2sinα=2，则α的值可求．

解答 解：由sin40°（λtan10°+μ）=-1，得
$sin40°（\frac{λsin10°}{cos10°}+μ）=-1$，即$sin40°\frac{λsin10°+μcos10°}{cos10°}=-1$，
∴$\frac{\sqrt{{λ}^{2}+{μ}^{2}}sin40°sin（10°+θ）}{cos10°}=-1$，
由上可得：$\sqrt{{λ}^{2}+{μ}^{2}}=2$．
即2sinα=2，sinα=1．
又α∈[0，90°]，
∴α=90°．
故答案为：90°．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值，考查了数学转化思想方法，关键是由已知的三角等式求出点P（λ，μ）与坐标原点O的距离，是中档题．