Question

9．定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2-x）=（x-1）²，且当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．若$f（m）-f（{1-m}）≥\frac{3}{2}-3m$，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． $（{-\frac{1}{3}，1}]$
• C． [1，+∞）
• D． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）+2x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，求得g（x）+g（2-x）=3，则g（x）关于（1，3）中心对称，则g（x）在R上为减函数，再由导数可知g（x）在R上为减函数，化$f（m）-f（{1-m}）≥\frac{3}{2}-3m$为g（m）≥g（1-m），利用单调性求解．

解答 解：令g（x）=f（x）+2x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
g′（x）=f′（x）+2-x，当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．
∴当x≤1时，g（x）为减函数，
而g（2-x）=f（2-x）+2（2-x）-$\frac{1}{2}（2-x）^{2}$，
∴f（x）+f（2-x）=g（x）-2x+$\frac{1}{2}{x}^{2}$+g（2-x）-2（2-x）+$\frac{1}{2}（2-x）^{2}$
=g（x）+g（2-x）+x²-2x-2=x²-2x+1．
∴g（x）+g（2-x）=3．
则g（x）关于（1，$\frac{3}{2}$）中心对称，则g（x）在R上为减函数，
由$f（m）-f（{1-m}）≥\frac{3}{2}-3m$，得f（m）+2m$-\frac{1}{2}{m}^{2}$≥f（1-m）+2（1-m）-$\frac{1}{2}（1-m）^{2}$，
即g（m）≥g（1-m），
∴m≤1-m，即m$≤\frac{1}{2}$．
∴实数m的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．
故选：D．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是压轴题．