Question

18．已知直线方程为（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．

Answer 1

分析 （1）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；
（2）可得定点Q（3，4）在直线上，由平面几何性质可得PQ⊥直线时点P到直线距离最大，由此利用垂直直线的斜率关系列式，即可解出实数m的值；
（3）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．

解答 （1）证明：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0化为（x-2y-3）m=-2x-y-4．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{-2x-y-4=0}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$
∴直线必过定点（-1，-2）．
（2）解：设直线必过定点P（-1，-2）．
可知点Q与定点（3，4）的连线的距离就是所求最大值，此时直线PQ与直线（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0垂直，
∵k_PQ=$\frac{-2-4}{-1-3}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{2+m}{2m-1}$=-$\frac{2}{3}$，
解得m=-$\frac{4}{7}$，
此时，点Q（3，4）到直线的最大距离是$\sqrt{（3+1）^{2}+（4+2）^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
综上所述，m=-$\frac{4}{7}$时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为2$\sqrt{13}$．
（3）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），
∴OA=|$\frac{2}{k}$-1|，OB=|k-2|，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$•OA•OB=$\frac{1}{2}$|（$\frac{2}{k}$-1）（k-2）|=$\frac{1}{2}$|-$\frac{（k-2）^{2}}{k}$|．
∵k＜0，
∴-k＞0，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$[-$\frac{（k-2）^{2}}{k}$]=$\frac{1}{2}$[4+（-$\frac{4}{k}$）+（-k）]≥4．
当且仅当-$\frac{4}{k}$=-k，即k=-2时取等号．
∴△AOB的面积最小值是4，
直线的方程为y+2=-2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）

点评 本题是中档题，考查直线恒过定点的知识，三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．