Question

13．若?x₀∈（0，+∞），不等式ax-lnx＜0成立，则a的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，\frac{1}{e}]$
• B． （-∞，e]
• C． $（-∞，\frac{1}{e}）$
• D． （-∞，e）

Answer 1

分析 若?x₀∈（0，+∞），不等式ax-lnx＜0成立，则?x₀∈（0，+∞），不等式a＜$\frac{lnx}{x}$成立，令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则a＜f（x）_max，利用导数法，求出函数的最大值，可得答案．

解答 解：若?x₀∈（0，+∞），不等式ax-lnx＜0成立，
则?x₀∈（0，+∞），不等式a＜$\frac{lnx}{x}$成立，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则a＜f（x）_max，
∵f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
则x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）=$\frac{lnx}{x}$为增函数，
x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）=$\frac{lnx}{x}$为减函数，
故x=e时，f（x）_max=$\frac{1}{e}$，
故a的取值范围是$（-∞，\frac{1}{e}）$，
故选：C

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了存在性问题，利用导数求函数的最值，难度中档．