Question

20．李克强总理4月22日（世界读书日前一天）在厦门大学考察时，指出世界读书日虽然只有一天，但我们应该天天读书，这种好习惯会让我们终身受益．
某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生进行调查．右侧是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图．若将日均阅读时间
不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？

	非读书迷	读书迷	总计
男		15
女			45
总计

P（K2≥k1）	0.100	0.050	0.010	0.001
k1	2.706	3.841	6.635	10.828

（Ⅱ）将频率视为概率，现从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取5次，记被抽取的5人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望EX和方差DX．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （I）利用频率分布直方图，直接计算填写表格，然后利用个数求解K²，判断即可．
（II）求出概率的分布列，然后利用超几何分布求解期望与方差即可．

解答 解：（I）完成下面的2×2列联表如下

	非读书迷	读书迷	合计
男	40	15	55
女	20	25	45
合计	60	40	100

K²=$\frac{100（40×25-15×20）^{2}}{60×40×55×45}$≈8.249＞6.635
因为P（K²＞6.635）≈0.01，
所以，有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．
（II）视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为$\frac{2}{5}$．
由题意可知X～B（5，$\frac{2}{5}$），EX=np=2，$DX=np（{1-p}）=\frac{6}{5}$（或1.2）
答：（I）有99%的把握认为“读书迷”与性别有关（II）$EX=2，DX=\frac{6}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，对立检验以及超几何分布的期望与方差的求法，分布列的求法，考查计算能力．