Question

9．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2，$\frac{{S}_{6}}{{S}_{2}}$=21，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前4项和为（　　）

• A． $\frac{5}{16}$或$\frac{11}{16}$
• B． $\frac{5}{16}$或$\frac{7}{16}$
• C． $\frac{5}{16}$或$\frac{15}{16}$
• D． $\frac{3}{16}$或$\frac{7}{16}$

Answer 1

分析 利用等比数列的通项公式可得公比q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前4项和．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
则由a₁=2，$\frac{{S}_{6}}{{S}_{2}}$=21，得
$\frac{\frac{2×（1-{q}^{6}）}{1-q}}{\frac{2×（1-{q}^{2}）}{1-q}}$=$\frac{1-{q}^{6}}{1-{q}^{2}}$=21，
整理得q⁴+q²-20=0，
解得q=2或q=-2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$或${a}_{n}=2•（-2）^{n-1}$．
当${a}_{n}={2}^{n}$时，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前4项和为：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$，
当${a}_{n}=2•（-2）^{n-1}$时，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前4项和为：$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}$=$\frac{5}{16}$．
故选：C．

点评 本题考查等比数列的前4项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．