Question

18．如图AB是⊙O的一条弦，过点A作圆的切线l，过点B作BC⊥l，垂足是C，BC与⊙O交于点D，已知$AC=2\sqrt{3}$，CD=2．
（Ⅰ）求⊙O的面积；
（Ⅱ）连结OD，交AB于点E，证明：点E为AB中点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD中点为F，连结OF，则OF∥AC，OF=AC，因为AC为圆O的切线，BC为割线，利用割线定理，求出BC，在Rt△OBF中求解半径r，即可得到圆的面积．
（Ⅱ）证明OADB为平行四边形，那么对角线相互平分，即可得到点E为AB中点．

解答 解：（Ⅰ）取BD中点为F，连结OF，则OF∥AC，OF=AC，
因为AC为圆O的切线，BC为割线，
所以CA²=CD•CB，由$AC=2\sqrt{3}，CD=2$，
所以BC=6，BD=4，BF=2
在Rt△OBF中，$r=OB=\sqrt{O{F^2}+B{F^2}}=4$，
所以⊙O的面积是16π；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA∥BD，OA=BD，连结AD，
则四边形OADB为平行四边形，
所以OD与AB交于点E，所以点E为AB中点．

点评 本题考查了圆有关的比例线段的应用，割线定理的运用．属于基础题．