Question

（本题满分14分）

已知函数的图象在点处的切线的斜率为2.

（Ⅰ）求实数的值;

（Ⅱ）设,讨论的单调性;

（Ⅲ）已知且,证明:

 

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）在区间和都是单调递增的；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为图象在点处的切线的斜率为2，所以,即可求出m的值；（Ⅱ）因为，所以设

当时，，是增函数，，所以，故在上为增函数； 当时，，是减函数，，

所以，故在上为增函数；所以在区间和都是单调递增的；（Ⅲ）利用分析证明法：由已知可知要证，即证即证，即证，即证，又，由（2）知成立，所以.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）所以

由题意,得 3分

（Ⅱ），所以

设

当时，，是增函数，，

所以，故在上为增函数； 6分

当时，，是减函数，，

所以，故在上为增函数；

所以在区间和都是单调递增的。 8分

（Ⅲ）由已知可知要证，即证 10分

即证，即证，即证， 12分

又，由（2）知成立，所以。 14分.

考点：1.导数的几何意义；2.导数在函数单调性中的应用；3.函数单调性在不等式证明中的应用.