在平面直角坐标系中,原点为,抛物线的方程为,线段是抛物线的一条动弦.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标;
(2)若,求证:直线恒过定点;
(3)当时,设圆,若存在且仅存在两条动弦,满足直线与圆相切,求半径的取值范围?
(1)准线方程:,焦点坐标;(2)证明见解析;(3).
解析试题分析:(1)根据抛物线标准方程确定焦点在哪个轴上及开口方向,焦点为,准线方程为;(2)本题实质是直线与抛物线相交问题,一般是设直线方程为,与抛物线方程联立方程组,消去可得,再设,则有,,而,把刚才求出的代入可得的关系,本题中求得为常数,因此直线A一定过定点;(3)由(2)利用可求出的关系式,
,则,而直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,即,由题意,作为关于的方程,此方程只有两解,设,则有,由于在时是减函数,且,即函数在时递减,在时递增,因此为了保证有两解,即只有一解,故要求.
(1)准线方程: +2分 焦点坐标: +4分
(2)设直线方程为 ,
得 +6分
+8分
直线 过定点(0,2) +10分
(3) +12分
+14分 令
当时, 单调递减, +15分
当时, 单调递增, +16分
存在两解即一解 +18分
考点:(1)抛物线的性质;(2)直线与抛物线相交问题;(3)圆的切线的条数与方程的解.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.
(1)证明:|PM|·|PN|为定值;
(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
设直线系M: xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ<2π),
下列四个命题中:
①存在定点P不在M中的任一条直线上;
②M中所有直线均经过一个定点;
③对于任意整数n(n≥3), 存在正n边形, 其所有边均在M中的直线上;
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).
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