Question

12．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=e^2x+x²-ax，函数g（x）=f（$\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{4}$x²+（1-b）x+b（其中a，b为常数），若函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）若s，t，r满足|s-r|＜|t-r|恒成立，则称s比t更靠近，在函数g（x）有极值的前提下，当x≥1时，$\frac{e}{x}$比e^x-1+b更靠近，试求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）根据更靠近的定义，构造函数，求函数的导数，利用最值和导数的关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^2x+x²-ax，∴f′（x）=2e^2x+2x-a，
∵函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直．
∴f′（0）=2-a=0，得a=2，
∴f（x）=e^2x+x²-2x；
（Ⅱ）g（x）=f（$\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{4}$x²+（1-b）x+b=e^x-b（x-1），
则g′（x）=e^x-b，
①若b≤0，g′（x）＞0，则g（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
②若b＞0，由g′（x）＞0得x＞lnb，由g′（x）＜0得x＜lnb，
即g（x）在（-∞，lnb）上为减函数，则（lnb，+∞）上为增函数；
（Ⅲ）∵函数g（x）有极值，∴b＞0，
由题意知|$\frac{e}{x}$-lnx|＜|e^x-1+b-lnx|，（※），
设p（x）=$\frac{e}{x}$-lnx，x≥1，q（x）=e^x-1+b-lnx，（x≥1），
∵p（x）在[1，+∞）上是减函数，p（e）=0，
∴当1≤x≤e时，p（x）=$\frac{e}{x}$-lnx≥0，
当x＞e时，p（x）=$\frac{e}{x}$-lnx＜0，
∵q′（x）=e^x-1-$\frac{1}{x}$，∴q′（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴q′（x）≥q′（1）=0，即q（x）在[1，+∞）上为增函数，
则q（x）≥q（1）=b+1＞0，则q（x）=e^x-1+b-lnx＞0，
①当1≤x≤e时，$\frac{e}{x}$-lnx＜e^x-1+b-lnx，即b＞$\frac{e}{x}$-e^x-1，
设m（x）=$\frac{e}{x}$-e^x-1，
∵m（x）=$\frac{e}{x}$-e^x-1，在[1，e]上为减函数，
∴b＞m（1），即b＞e-1，
②当x＞e时，（※）即lnx-$\frac{e}{x}$＜e^x-1+b-lnx，即b＞-$\frac{e}{x}$+2lnx-e^x-1，
设n（x）=-$\frac{e}{x}$+2lnx-e^x-1，x＞e，
则n′（x）=$\frac{e}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$-e^x-1，x＞e，
则n′（x）在（e，+∞）上为减函数，
∴n′（x）＜n′（e），
∵n′（e）=$\frac{3}{e}$-e^e-1＜0，
∴n（x）在（e，+∞）上为减函数，
n（x）＜n（e）=1-e^e-1，
则b≥1-e^e-1，
综上b＞e-1．

点评 本题主要考查不等式恒成立，利用函数单调性最值和导数之间的关系，是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度比较大．