【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若曲线
与曲线
存在唯一的公切线,求实数
的值;
(3)当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)(3)
【解析】
(1),分
和
讨论函数的单调性;
(2)曲线,曲线
,设该公切线与
分别切于点
,显然
,利用导数的几何意义和两点间的斜率公式求得
,解得
,
问题等价于直线与曲线
在
时有且只有一个公共点,利用导数求
的值域;
(3)问题等价于不等式,当
时恒成立,设
,先求
,再求
,分
和
两种情况讨论函数的最小值,判断
是否成立.
解:(1),
当时,
恒成立,
在
上单调递减,
当时,由
,解得
,
由于时,导函数
单调递增,
故,
单调递减,
单调递增.
综上,当时
在
上单调递减;
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增. .
(2)曲线与曲线
存在唯一公切线,设该公切线与
分别切于点
,显然
.
由于,
所以,
,
由于,故
,且
因此,
此时,
设
问题等价于直线与曲线
在
时有且只有一个公共点,
又,令
,解得
,
则在
上单调递增,
上单调递减,
而,当
时,
所以的值域为
.
故.
(3)当时,
,问题等价于不等式
,当
时恒成立.
设,
,
又设
则
而.
(i)当时,即
时,
由于,
此时在
上单调递增.
所以
即,所以
在
上单调递增
所以,
即,
故适合题意.
(ii)当时,
,
由于在
上单调递增,
令,
则,
故在上存在唯一
,使
,
因此当时,
单调递减,
所以,
即在
上单调递减,
故,
亦即,
故时不适合题意,
综上,所求的取值范围为
.
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【题目】如图,我海监船在岛海域例行维权巡航,某时刻航行至
处,此时测得其北偏东
方向与它相距
海里的
处有一外国船只,且
岛位于海监船正东
海里处.
(1)求此时该外国船只与岛的距离;
(2)观测中发现,此外国船只正以每小时海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离
岛
海里的
处(
在
的正南方向),不让其进入
岛
海里内的海域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值(角度精确到
,速度精确到
海里/小时).
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【题目】西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动,其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课:七巧板、健美操、剪纸.203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动,每位同学只能挑选一门课外活动课,已知每门课都有人选,则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为( )
A.18B.36C.72D.144
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【题目】已知函数f(x)=lnx+ax2+ax.
(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=4x+1平行,求实数a的值;
(2)若时,关于x的方程
在(0,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
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【题目】把方程表示的曲线作为函数
的图象,则下列结论正确的有( )
A.的图象不经过第一象限
B.在
上单调递增
C.的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为
D.函数不存在零点
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【题目】如果一个四面体的三个面是直角三角形,下列三角形:(1)直角三角形;(2)锐角三角形;(3)钝角三角形;(4)等腰三角形;(5)等腰直角三角形.那么可能成为这个四面体的第四个面是_____.(填上你认为正确的序号)
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【题目】已知函数的定义域是
,且
,
,当
时,
.
(1)判断的奇偶性,并说明理由;
(2)求在区间
上的解析式;
(3)是否存在整数,使得当
时,不等式
有解?证明你的结论.
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