Question

已知

OA

=（4，0），

0B

=（2，2

3

），

OC

=（1-λ）

OA

+λ

OB

（λ²≠λ）
（1）证明A，B，C三点共线，并在

AB

=

BC

时，λ的值；
（2）求|

OC

|的最小值．

Answer 1

考点：向量的模

专题：平面向量及应用

分析：（1）由向量的加减运算化简

OC

=（1-λ）

OA

+λ

OB

得

AC

=λ

AB

，即可证明A，B，C三点共线，再由向量相等、向量的坐标运算求出λ的值；
（2）先由坐标运算求出

OC

的坐标，代入向量模的公式配方后，利用二次函数的性质求出|

OC

|的最小值．

解答： 证明：（1）因为

OC

=（1-λ）

OA

+λ

OB

=

OA

-λ

OA

+λ

OB

，
所以

OC

-

OA

=λ（

OB

-

OA

），则

AC

=λ

AB

，
所以A，B，C三点共线，
由

OA

=（4，0），

0B

=（2，2

3

），

OC

=（1-λ）

OA

+λ

OB

得，

AB

=（-2，2

3

），

BC

=

OC

-

0B

=（2-2λ，2

3

λ-2

3

），
因为

AB

=

BC

，所以

-2=2-2λ 2 3 =2 3 λ-2 3

，解得λ=2；
解：（2）因为

OC

=（1-λ）

OA

+λ

OB

=（1-λ）（4，0）+λ（2，2

3

）=（4-2λ，2

3

λ），
所以|

OC

|=

(4-2λ)2+12λ2

=4

λ2-λ+1

=4

(λ- 1 2 )2+ 3 4

≥2

3

，
故|

OC

|的最小值是2

3

．

点评：本题考查利用向量共线的条件证明三点共线，由向量相等、向量的坐标运算、加减运算，以及向量模的最值问题，考查函数思想、方程思想，化简计算能力．