Question

19．已知x、y、z∈（0，+∞），且3^x=4^y=6^z
（1）求证：$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$=$\frac{1}{z}$
（2）比较3x、4y、6z的大小．

Answer 1

分析 （1）设3^x=4^y=6^z=t，化指数式为对数式后求出x，y，z，然后直接代入等式两端加以证明；
（2）因为x，y，z均为正数，利用作商法证明．

解答 解：（1）证明：设3^x=4^y=6^z=t．∵x＞0，y＞0，z＞0，∴t＞1，lgt＞0，
则x=log₃t=$\frac{lgt}{lg3}$，y=log₄t=$\frac{lgt}{lg4}$，z=log₆t=$\frac{lgt}{lg6}$，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$=$\frac{lg3}{lgt}$+$\frac{lg4}{2lgt}$=$\frac{lg3}{lgt}$+$\frac{lg2}{lgt}$=$\frac{lg6}{lgt}$=$\frac{1}{z}$
（2）∵3x＞0，4y＞0，且$\frac{3x}{4y}$=$\frac{3\frac{lgt}{lg3}}{4\frac{lgt}{lg4}}$=$\frac{3}{4}$•log₃4＜1，
∴3x＜4y，同理4y＜6z，
故3x＜4y＜6z，

点评 本题考查了指数式和对数式的互化，考查了作商法进行正实数的大小比较，是基础题．