Question

设a₁，a₂，a₃，a₄，a₅为自然数．A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²，a₅²}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，并满足A∩B=﹛a₁，a₄﹜，a₁+a₂=10，A∪B中各元素之和为256．
（1）求a₁，a₄的值；
（2）求集合A．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：（1）由条件A∩B={a₁，a₄}，且五个自然数的大小关系，得出a₁=a₁²，求出a₁的值，再由a₁+a₄=10，求出a₄的值；
（2）根据a₄的值确定出a₂=3或a₃=3，分两种情况考虑：①若a₃=3时，a₂=2，由A∪B中的所有元素之和为256，求出a₅的值，从而确定出集合A；
②若a₂=3时，表示出此时A和B，则得到a₃的范围，根据a₃及a₅表示自然数，得到只有a₃=5时，a₅=11，进而确定出集合A，综上，得到满足题意的集合A．

解答： 解：（1）由A∩B={a₁，a₄}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅ ，
得到只可能a₁=a₁²，即a₁=1，
又a₁+a₄=10，
∴a₄=9；
（2）∵a₄=9=a_i²（2≤i≤3），
∴a₂=3或a₃=3，
①若a₃=3时，a₂=2，此时A={1，2，3，9，a₅}，B={1，4，9，81，a₅²}，
∵a₅²≠a₅，∴1+2+3+9+4+a₅+81+a₅²=256，
整理得：a₅²+a₅-156=0，
解得：a₅=12，
∴A={1，2，3，9，12}；
②若a₂=3时，此时A={1，3，a₃，9，a₅}，B={1，9，a₃²，81，a₅²}，
∵1+3+9+a₃+a₅+81+a₃²+a₅²=256，
∴a₅²+a₅+a₃²+a₃-162=0，
又a₂＜a₃＜a₄，则3＜a₃＜9，
当a₃=4、6、7、8时，a₅无整数解，
当a₃=5时，a₅=11，
∴A={1，3，5，9，11}；
综上，A={1，2，3，9，12}或{1，3，5，9，11}．

点评：此题考查了交集及其运算，利用了转化及分类讨论的数学思想，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．