Question

已知向量

a

=（1，2cos²x-1），

b

=（

3

sin2x，1），函数f（x）=

a

•

b

（1）求f（x）单调递减区间；
（2）f（x）向右平移

π

6

个长度单位，再向下平移

1

2

个长度单位，得到g（x）的图象，求g（x）在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则计算

a

•

b

，列出函数解析式，再利用二倍角的正弦，特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调递减区间[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，函数的单调递减区间．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出平移变换后的解析式．通过x的范围求出相位的范围然后求出函数的最值．

解答： 解：向量

a

=（1，2cos²x-1），

b

=（

3

sin2x，1），
函数f（x）=

a

•

b

=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）．
（1）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z时，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．
（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）向右平移

π

6

个长度单位，得到函数=2sin（2x-

π

6

）．再向下平移

1

2

个长度单位，得到g（x）=2sin（2x-

π

6

）-

1

2

的图象，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，

3

2

]，
2sin（2x-

π

6

）-

1

2

∈[-

3

2

，

3

-

1

2

]．
函数的值域：[-

3

2

，

3

-

1

2

]．

点评：本题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦，三角函数图象变换以及正弦函数的单调性，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．