Question

9．如图，在梯形PMNQ中，PQ∥MN，对角线PN和MQ相交于点O，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄．试判断S₁+S₂和S₃+S₄的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 设PQ=m，MN=n，根据同底等判断S_△PMN=S_△QMN，再根据三角形面积的相似比，即可用，m，n表示出S₁，S₂，S₃，S₄．再利用作差法比较大小即可．

解答 解：设PQ=m，MN=n，
∵△PMN和△QMN同底等高，
∴S_△PMN=S_△QMN，
∴S₃+S₂=S₄+S₂，即：S₃=S₄．
∵△POQ∽△NOM，
∴${S_1}：{S_2}={（OQ：OM）^2}={m^2}：{n^2}$，
∴${S_2}=\frac{n^2}{m^2}•{S_1}$．
∵S₁：S₃=OQ：OM=m：n，
∴${S_3}=\frac{n}{m}•{S_1}$． 
∴（S₁+S₂）-（S₃+S₄）=S₁+$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$+S₂-2•$\frac{n}{m}$S₁=S₁（1+$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{2n}{m}$）=S₁（1-$\frac{n}{m}$）²．
∵${（1-\frac{n}{m}）^2}＞0$，
∴S₁+S₂＞S₃+S₄．

点评 本题考查了相似三角形的性质，以及作差法比较大小，属于中档题．