Question

（1）若数列{a_n+1-αa_n}是公比为β的等比数列，证明：数列{a_n+1-βa_n}是公比为α的等比数列；（a₂-αa₁≠0，a₂-βa₁≠0，αβ≠0）
（2）若a_n+1-4a_n=3ⁿ，a₁=1
①求a_n
②证明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

4

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+1-αa_n=β（a_n-2a_n-1）=βa_n-αβa_n-1，从而a_n+1-βa_n=α（a_n-βa_n-1），由此能证明数列{a_n+1-βa_n}是公比为α的等比数列．
（2）①由已知得数列{a_n+1-3a_n}是公比为4的等比数列，从而a₂-3a₁=4，由此能求出an=4n-3n．
②由已知得an=4n-3n≥4^n-1，从而

1

an

≤

1

4n-1

，由此能证明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

4

3

．

解答： （1）证明：∵数列{a_n+1-αa_n}是公比为β的等比数列，
∴a_n+1-αa_n=β（a_n-2a_n-1）=βa_n-αβa_n-1，
∴a_n+1-βa_n=α（a_n-βa_n-1），
且a₂-βa₁≠0，α≠0，
∴数列{a_n+1-βa_n}是公比为α的等比数列．
（2）①解：∵an+1-4an=3n，a₁=1，
数列{a_n+1-4a_n}是公比为3的等比数列，
结合（1）的结论知：
数列{a_n+1-3a_n}是公比为4的等比数列，
a₂-3a₁=4，
∴an+1-3an=4n，
∵a_n+1-4a_n=3ⁿ，a₁=1，
∴an=4n-3n．
②证明：∵an=4n-3n=4^n-1+3•4^n-1-3^n-1
=4^n-1+3（4^n-1-3^n-1）≥4^n-1，
∴

1

an

≤

1

4n-1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

40

+

1

4

+…+

1

4n-1

=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

3

-

4

3

×

1

4n

＜

4

3

．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

4

3

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．