Question

18．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．设AN=x（单位：米），若x∈[3，4]（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 先求出AM的长，表示出矩形AMPN的面积，通过求导得到关于矩形的面积的函数在区间递减，从而求出x的值以及矩形的最大面积．

解答 解：由于$\frac{DN}{AN}=\frac{DC}{AM}$，则$AM=\frac{3x}{x-2}$，
故${S_{AMPN}}=AN•AM=\frac{{3{x^2}}}{x-2}$，
令$y=\frac{{3{x^2}}}{x-2}$，则$y'=\frac{{6x（{x-2}）-3{x^2}}}{{{{（{x-2}）}^2}}}=\frac{{3x（{x-4}）}}{{{{（{x-2}）}^2}}}$，
因为当x∈[3，4）时，y′＜0，所以函数$y=\frac{3x}{x-2}$在[3，4）上为单调递减函数，
从而当x=3时$y=\frac{3x}{x-2}$取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，
此时AN=3米，AM=9米．

点评 本题考查了导数在最值中的应用，考查矩形的知识，是一道中档题．