Question

16．设向量$\overrightarrow{a}$=（x-2，2），$\overrightarrow{b}$=（4，y），$\overrightarrow{c}$=（x，y），x，y∈R，若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{c}$|的最小值是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 利用向量垂直数量积为0，得到x，y关系，然后求解向量的模的表达式，然后求解最值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（x-2，2），$\overrightarrow{b}$=（4，y），$\overrightarrow{c}$=（x，y），x，y∈R，若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
可得4x+2y=8，即2x+y=4．
则|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（4-2x）^{2}}$=$\sqrt{5{x}^{2}-16x+16}$=$\sqrt{5（x-\frac{8}{5}）^{2}+\frac{16}{5}}$≥$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查向量的数量积以及向量的模，二次函数的最值的求法，考查计算能力．