Question

4．已知A（2，0），B（3，$2\sqrt{6}$）．
（1）求中心在原点，A为长轴右顶点，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆的标准方程；
（2）求中心在原点，A为右焦点，且经过B点的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）利用A为长轴右顶点，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，确定椭圆的几何量，即可得到标准方程．
（2）利用双曲线的定义，求出a，可得b，即可得到标准方程．

解答 解：（1）由题意，a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）由题意$\sqrt{（3+2）^{2}+（2\sqrt{6}）^{2}}$-$\sqrt{（3-2）^{2}+（2\sqrt{6}）^{2}}$=7-5=2a，
∴a=1，
∵c=2，
∴b=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴双曲线的标准方程是${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定椭圆、双曲线的几何量是关键．