Question

已知函数其中a是实数．设，为该函数图象上的两点，且．

（1）指出函数f(x)的单调区间;

（2）若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且，求的最小值;

（3）若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）[－1，0)，(0，+∞)

（2）1

（3）(－ln2－1，+∞)

【解析】（1）函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，+∞)．

（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，

故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有．

当x<0时，对函数f(x)求导，得．

因为，所以，

所以．

因此

当且仅当，即且时等号成立．

所以函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，的最小值为1．

（3）当或时，，故．

当时，函数f(x)的图象在点处的切线方程为，

即．

当时，函数f(x)的图象在点处的切线方程为，即．

两切线重合的充要条件是

由（1）式及知，．

由（1）（2）式得，．

设，

则．

所以是减函数．

则．

所以．

又当且趋近于－1时，无限增大，

所以a的取值范围是．

故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是．