Question

5．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4
（Ⅰ）求边AC的长
（Ⅱ）若△APB的面积是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求sin∠BAP的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设边AC=x，利用余弦定理求出边AC的长．
（Ⅱ）先判断△APC为等边三角形，∠APB=120°，利用若△APB的面积是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求得PB的值．再利用余弦定理求得AB的值，在△ABP中，利用正弦定理可得sin∠BAP的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，设边AC=x，则由AP+AC=4，可得AP=4-x，x∈（0，4）．
再根据∠PAC=60°，PC=2，利用余弦定理可得PC²=AP²+AC²-2AP•AC•cos∠PAC，
即 4=（4-x）²+x²-2•（4-x）x•cos60°，即x²-4x+4=0，∴x=2，即边AC的长为2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AP=AC=PC=2，△APC为等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠APB=120°．
∵△APB的面积是 $\frac{1}{2}$•AP•PB•sin∠APB=$\frac{1}{2}$•2•PB•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∴PB=3．
△ABP中，利用余弦定理可得AB²=AP²+PB²-2AP•PB•cos120°=4+9-2•2•3•（-$\frac{1}{2}$）=19，∴AB=$\sqrt{19}$．
△ABP中，利用正弦定理可得$\frac{AB}{sin120°}$=$\frac{PB}{sin∠BAP}$，即 $\frac{\sqrt{19}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{3}{sin∠BAP}$，∴sin∠BAP=$\frac{3\sqrt{57}}{38}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的综合应用，属于中档题．