Question

设函数f（x）=2|x-1|-|x+2|．
（1）求f（x）≤6的解集．
（2）若f（x）≥m对任意x∈R恒成立，求m的范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）通过对x范围的分类讨论，去掉函数f（x）=2|x-1|-|x+2|中的绝对值符号，再解相应的不等式f（x）≤6，最后取其并集即可；
（2）依题意，可求得f（x）_min=-3，从而可求m的范围．

解答： 解：（1）∵2|x-1|-|x+2|≤6，
不等式等价于：

x＜-2 2(1-x)+(x+2)≤6

或

-2≤x≤1 2(1-x)-(x+2)≤6

或

x＞1 2(x-1)-(x+2)≤6

，
等价于

x＜-2 x≥-2

或

-2≤x≤1 x≥-2

或

x＞1 x≤10

；
∴不等式的解集为[-2，10]；
（2）由（1）知f（x）=

4-x，(x＜-2) -3x，(-2≤x≤1) x-4，(x＞1)

，
当x＜-2时，f（x）=4-x＞6；
当-2≤x≤1时，f（x）=-3x∈[-3，6]；
当x＞1时，f（x）=4-x＞-3，
∴函数最小值为-3，
∵f（x）≥m对任意x∈R恒成立，
∴m≤-3．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．