Question

17．椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，点P（1，$\frac{3}{2}$）及点A，B在椭圆E上，且$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=m$\overrightarrow{OP}$（m∈R）．
（1）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
（2）当△PAB的面积取得最大时，求△PAB的重心坐标．

Answer 1

分析 （1）由离心率公式和点P满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解得a²=4，b²=3，由此能求出椭圆E的方程及直线AB的斜率；
（2）设AB的方程为y=-$\frac{1}{2}$x+t，代入椭圆方程得：x²-tx+t²-3=0，求得△=3（4-t²），运用韦达定理和弦长公式求得|AB|，运用点到直线的距离公式可得点P到直线AB的距离为d，求得S_△PAB． 由此能求出△PAB的最大值和重心坐标．

解答 解：（1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
P在椭圆上，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，
解得a²=4，b²=3，
椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1； 
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=m$\overrightarrow{OP}$，得
（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，$\frac{3}{2}$），
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2+m}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=3+\frac{3}{2}m}\end{array}\right.$，
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{1}{3}$y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{1}{3}$y₂²=1，
两式相减得k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{2+m}{3+\frac{3}{2}m}$=-$\frac{1}{2}$；
（2）设AB的方程为y=-$\frac{1}{2}$x+t，
代入椭圆方程得：x²-tx+t²-3=0，
x₁+x₂=t，x₁x₂=t²-3，
△=3（4-t²），|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{{t}^{2}-4（{t}^{2}-3）}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$•$\sqrt{4-{t}^{2}}$，
点P到直线AB的距离为d=$\frac{|4-2t|}{\sqrt{5}}$，
S_△PAB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|2-t|•$\sqrt{4-{t}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3（2-t）^{3}（2+t）}$（-2＜t＜2）． 
令f（t）=3（2-t）³（2+t），
则f’（t）=-12（2-t）²（t+1），
由f’（t）=0得t=-1或2（舍），
当-2＜t＜-1时，f’（t）＞0，
当-1＜t＜2时f’（t）＜0，
所以当t=-1时，f（t）有最大值81，
即△PAB的面积的最大值是$\frac{9}{2}$；                 
根据韦达定理得x₁+x₂=t=-1，
而x₁+x₂=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，
于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+$\frac{3}{2}$=3+$\frac{3m}{2}$+$\frac{3}{2}$=0，
因此△PAB的重心坐标为（0，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线斜率的计算，注意运用点差法，考查当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．