Question

已知两定点A（-2，0），B（2，0），若直线上存在点P，使得|PA|-|PB|=2，则称该直线为“优美直线”，给出下列直线：①y=x+1②y=

3

x+2③y=-x+3④y=-2x-1．其中是“优美直线”的序号是（　　）

• A、①④
• B、③④
• C、②③
• D、①③

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的定义，可求得点P的轨迹方程，从而可利用双曲线的性质结合新定义“优美直线”即可获得答案．

解答： 解：∵两定点M（-2，0），N（2，0），直线上存在点P（x，y），使得|PM|-|PN|=2，
∴点P的轨迹是双曲线，其中2a=2，2c=4，
∴点P的轨迹方程方程为：x²-

y2

3

=1（x≥1），
∴其渐近线方程为：y=±

3

x，
∵①y=x+1经过（0，1）且斜率k=1＜

3

，
∴该直线与双曲线x²-

y2

3

=1（x≥1）有交点，
∴该直线是“优美直线”；
对于②，∵y=

3

x+2经过（0，2）且斜率k=

3

，显然该直线与其渐近线方程y=

3

x平行，该直线与双曲线无交点，
∴该直线不是“优美直线”，即②不符合；
对于③，∵y=-x+3 经过（0，3）且斜率k=-1＞-

3

，
∴该直线与双曲线x²-

y2

3

=1（x≥1）有交点，故③符合；
同理可得，④y=-2x-1的斜率k=-2＜-

3

，
∴该直线与双曲线x²-

y2

3

=1（x≥1）无交点，
综上所述，①③符合．
故选D．

点评：本题考查双曲线的概念与性质，考查其渐近线方程的应用，突出转化思想与分析应用能力的考查，属于中档题．